Вопрос об умножении отрицательных чисел

[Эльдар]

Сообщение от Махов

К тому же, Человечество, имея в своих истоках такую богатейшую цивилизацию, как шумерскую, - довольно сильно исказило ранее существующую на Земле математическую базу, хотя до сих пор не может достигнуть ее высот.

Интересно было бы узнать подробности о Шумерской математике.

Сообщение от Махов

С тех пор, как Коши, встретившись с трудностями при решении уравнений 3-й степе-ни, предложил использовать мнимые числа, в математической среде не утихают споры по поводу правомерности такого предложения.

Согласно официальной истории математики первым, кто изложил правила действий над комплексными числами и показал, как эти числа можно использовать при решении кубических уравнений был Р. Бомбелли (см. его сочинение "Алгебра", 1572 г.). Активное использование комплексных чисел в математике началось с Л. Эйлера(18 век). К слову, О. Коши работал в 19 веке.

Сообщение от Махов

Возведение в степень
1•(-2)=-2 (-2)1=-2
2•(-2)=-4 (-2)2=4
4•(-2)=-8 (-2)3=-8
8•(-2)=-16 (-2)4=16
16•(-2)=-32 (-2)5=-32

Перед нами две колонки цифр – результаты операции возведения числа в степень: первая – соответствует базовой операции, вторая – выполнена по классической схеме. В первой колонке – постоянство знаков, во второй – их чередование. Налицо несоответст-вие, и, значит, - ошибка.

Нет никакой ошибки. Просто операция умножения так определена, что появилось такое "несоответствие". К тому же, правая колонка никак не связана с левой - в них разные операции. Например, (-2)3 есть (-2)*(-2)*(-2), а слева лишь произведения положительных чисел на отрицательное (-2). Почему здесь должно быть соответствие - непонятно.

Сообщение от Махов

Рассматривая знак результатов вычисления (N), заметим, что ¾ вариантов имеет отри-цательный знак, т.е. налицо отсутствие баланса, а значит – и наличие ошибки.

Непонятная логика.

Сообщение от Махов

Основные выводы:
1. Операция умножения 2-х чисел переместительным свойством не обладает.
2. При умножении 2-х чисел знак произведения определяется знаком 2-го сомножителя.

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Сообщение от Махов

Но, тут же видим несуразность: при переходе от шумерской полушкалы отрицательных чисел мы не получим отрицательных чисел линейной шкалы! Они начисто отсутствуют!
Выход один: понять, что наши предки использовали другую интерпретацию квадратич-ной шкалы, вид которой показан на графике красной линией. Тогда все становится на свои места: возведя в квадрат шумерское число “–12”, получим наше натуральное число “-144” и наоборот, а наши предыдущие рассуждения, доводы и выводы - получат новое подтвержде-ние.

Это не аргумент. Либо надо подробнее излагать.
Вообще, желательно бы привести пример, где "новое умножение" приносит явную пользу. А так... умножение можно определить вообще как угодно, а потом исследовать следствия такого определения.

Сообщение от А.И.

зато есть коммутативность, без неё сейчас никак

Ну, некоммутативная математика как минимум с начала прошлого века развивается. С того самого момента, как увидели, что соответствующие операторы квантовой механики не коммутируют(а может даже и раньше). Так что без неё сейчас очень даже "как". Задайте в поисковой системе "некоммутативная" или "noncommutative".

Всего доброго.

P.S. Слышал, что у древних была математика без нуля. Вот об этом было бы интересно узнать, ибо от нуля много хлопот(сингулярности, связанные с ними расходимости и т.д.). Система с нулём слишком груба.