Вопрос об умножении отрицательных чисел

[АлексУ]

Сообщение от А.И.

Приветствую всех! Данная статья была найдена на просторах интернета, она достаточно объёмна в плане текста, но может оказаться интересной кому близка математика.
...

Статья действительно интересная, есть над чем "поломать голову"...
Пока подробно разобрался с докозательством №1. Есть несколько замечаний.

1. Смысл умножения на отрицательное число.

Сообщение от А.И.

Потому что неопределена операция умножения и в класическом случае мы ей можем крутить как хочется, то n прибавляем m раз, то m прибавляем n раз, тут не важно главное что - * + = - и - * - = +, ну а как в этом случае (-n)*(-m) складывается тоже непонятно, поэтому в обоих случаях как бы независимо используется модуль только в первом он используется ещё и над всем результатом, чтоб наверняка, а во втором только над значением числа слагаемых.

Умножение числа А на 2 - есть сумма двух чисел А. Умножение числа А на n - есть сумма n чисел А.
А каков смысл умножения числа А на отрицательное число, например -2?
В классической математике этот смысл прост и понятен - это есть сумма двух чисел А, взятых с противоположным знаком.
Т.е., если А - положительное число, то умножая его на -2 мы складываем два отрицательных числа -А и получаем отрицательную сумму (произведение) 2*(-А); если число А - отрицательное, тогда мы в результате получаем сумму двух положительных чисел (-А).
А каков смыл, в базисе операции сложения, умножения на отрицательное число в новой предлагаемой модели?
Особого смысла я не вижу - постулируется, что умножение на отрицательное число тождественно умножению на такое же, но положительное число: 2*4=(-2)*4=8. Т.е. постулируется избыточность информации - а значит знак перед множителем (левым) можно игнорировать, т.е. не принимать во внимание. А что это значит? Это значит, что в новой модели можно безболезненно запретить умножение на отрицательный множитель (левый - поскольку в этой модели левый и правый множители неравноправны). И, как следствие, в этой модели понятие "квадрат отрицательного числа" - не имеет смысла. А значит не имеет смысла и корень квадратный из -1.
Копнем глубже. Отчего происходит это отождествление знаков левого множителя? От произвола - от произвольности выбора правила умножения. Ведь правило "знак произведения двух чисел определяется знаком правого сомножителя" - произвольно и не требуется логикой; мы с такой же легкостью могли бы определять знак произведения знаком левого множителя.
Это не есть ошибка. Ведь и в классической математике правила умножения определяются некими условными соглашениями: однознаковые множители в произведении дают +, а разнознаковые дают -. Но в классической математике это условное соглашение логично и красиво - а в новой модели это соглашение есть результат произвольного выбора из двух равноправных вариантов. Это не есть ошибка - это есть недостаток модели с эстетической точки зрения. А для меня в математике эстетическая красота построения имеет очень большое значение.

Вы говорите о произведении двух чисел как площади ограничиваемого ими прямоугольника - в одной из четвертей координатной плоскости. Но ведь этих прямоугольника четыре. И как Вы определяете - какие из них "положительные", а какие "отрицательные"? "Положительные" те, что правее оси Y, или те, что выше оси X? Опять произвольный выбор из равноправных вариантов...
И к тому же, заметьте, это четыре разных прямоугольника. Т.е., по логике, Вам бы нужно определять четыре разных результата перемножения двух чисел. Например, 2*(-4)=(-8 ), а (-2)*(-4)=(-8") - и при этом первое (-8 ) не равна второму (-8"). И тогда корень квадратный можно извлечь, например, из (-1") - но нельзя извлечь из (-1).

2. Нарушение дистрибутивности.

Сообщение от Эльдар

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Сообщение от А.И.

Да, тут по старой привычке всё на + меняю В этом случае действительно будет -2, но дело в том что получается тут была произведена неявная перемена мест слагаемых, или замена знака одного из них, хотя это конечно можно было делать в классическом случае - т.е. - (1-1)=(1+(-1)) тут у первого множителя знак остался положительным, у второго знак стал отрицательным а операция изменилась на +, хотя поидее у каждой из едениц знаком то является +, таким образом в новом методе это выглядело бы примерно так - (1-1)*(-1) = (1)*(-1)-(1)*(-1) = -1-(-1) = 0

Можно рассмотреть другой пример, вытекающий из простых соображений.
В классической математике уравнение х*х-1=0 имеет два решения - 1 и (-1). Т.е. функция х*х-1 обращается в 0 в двух точках. Это наглядно следует из разложения квадратичного уравнения на линейные множители: х*х-1=(х+1)*(х-1)=0.
А что будет в новой модели, если вместо х подставить значение (-1)?
(-1+1)*(-1-1)=(0)*(-2)=0.
А теперь раскроем скобки:
(-1+1)*(-1-1)=(-1)*(-1)+(-1)*(-1)+1*(-1)+1*(-1)=-4
Т.е. 0=-4...

3. Автор непоследователен в своих построениях относительно своей же критики. Он пишет: "Но мнимое число никогда бы не появилось, не будь отрицательных чисел. И мы покажем, что предложение Коши было вынужденным, что эта проблема была уже запрограммирована ранее и скрытно возникла еще при появлении отрицательных чисел как таковых". Но в своих построениях новой математической модели он не отказывается от отрицательных чисел, - а пытается решить проблему новыми правилами умножения отрицательных чисел.
Почему бы автору не запретить отрицательные числа вообще? и ввести вместо этого, например, коммутативность операции вычитания? т.е. а-в=в-а. Конечно, при этом возникнут другие проблемы, и это будет сужением математического аппарата - но зато сохранится логика его критического подхода.

А вообще, мне нравится теория комплексных чисел! Она красивая...
Особенно, если рассматривать ее в форме пространства упорядоченных пар чисел (а,в), или векторов на плоскости.
Во-первых, оно содержит в качестве своего подпространства пространство вещественных чисел - все пары вида (а, 0).
Во-вторых, в ней легко и изящно решается проблема отрицательных квадратов, в частности, решения уравнения х*х=-1: (0,1)*(0,1)=(0*0-1*1, 0*1+1*0)=(-1,0)=-1
В-третьих, ясен и красив смысл умножения упорядоченной пары чисел на отрицательное вещественное число n - это есть изменение направление вектора на противоположный, плюс увеличение его длины на велечину n, т.е. сложение n раз длины исходного вектора.
Наконец, пространство комплексных чисел, или упорядоченных пар вещественных чисел, есть нетривиальное расширение пространства вещественных чисел - а значит обогащение математического аппарата. И выход в более высокое измерение! Т.е. если в качестве исходных чисел в паре мы рассматриваем одномерные точки прямой - то мы получаем пространство двух измерений. А если в качестве исходных чисел в паре мы возьмем точки трехмерного пространства, имеющие три пространственные координаты каждая - тогда мы получим уже простую и удобную математику четырехмерного пространства. В котором в качестве четвертой координатной оси можно рассматривать время. Перспективы - грандиозные!