Вопрос об умножении отрицательных чисел

Swark · 31.05.2010, 18:17

Если умножение станет некоммутативным, то это сразу его усложнит, уже не в любой школе его можно будет преподать. Но я за то, чтобы пройти этот путь, ведь это даст новый раздел математики. Я даже предлагаю символ для такого объемного умножения: "ю", то есть пишем 5ю5=25, 6ю6=36

Эльдар · 31.05.2010, 22:50

Цитата:

Сообщение от Махов

К тому же, Человечество, имея в своих истоках такую богатейшую цивилизацию, как шумерскую, - довольно сильно исказило ранее существующую на Земле математическую базу, хотя до сих пор не может достигнуть ее высот.

Интересно было бы узнать подробности о Шумерской математике.

Цитата:

Сообщение от Махов

С тех пор, как Коши, встретившись с трудностями при решении уравнений 3-й степе-ни, предложил использовать мнимые числа, в математической среде не утихают споры по поводу правомерности такого предложения.

Согласно официальной истории математики первым, кто изложил правила действий над комплексными числами и показал, как эти числа можно использовать при решении кубических уравнений был Р. Бомбелли (см. его сочинение "Алгебра", 1572 г.). Активное использование комплексных чисел в математике началось с Л. Эйлера(18 век). К слову, О. Коши работал в 19 веке.

Цитата:

Сообщение от Махов

Возведение в степень
1•(-2)=-2 (-2)1=-2
2•(-2)=-4 (-2)2=4
4•(-2)=-8 (-2)3=-8
8•(-2)=-16 (-2)4=16
16•(-2)=-32 (-2)5=-32

Перед нами две колонки цифр – результаты операции возведения числа в степень: первая – соответствует базовой операции, вторая – выполнена по классической схеме. В первой колонке – постоянство знаков, во второй – их чередование. Налицо несоответст-вие, и, значит, - ошибка.

Нет никакой ошибки. Просто операция умножения так определена, что появилось такое "несоответствие". К тому же, правая колонка никак не связана с левой - в них разные операции. Например, (-2)3 есть (-2)*(-2)*(-2), а слева лишь произведения положительных чисел на отрицательное (-2). Почему здесь должно быть соответствие - непонятно.

Цитата:

Сообщение от Махов

Рассматривая знак результатов вычисления (N), заметим, что ¾ вариантов имеет отри-цательный знак, т.е. налицо отсутствие баланса, а значит – и наличие ошибки.

Непонятная логика.

Цитата:

Сообщение от Махов

Основные выводы:
1. Операция умножения 2-х чисел переместительным свойством не обладает.
2. При умножении 2-х чисел знак произведения определяется знаком 2-го сомножителя.

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Цитата:

Сообщение от Махов

Но, тут же видим несуразность: при переходе от шумерской полушкалы отрицательных чисел мы не получим отрицательных чисел линейной шкалы! Они начисто отсутствуют!
Выход один: понять, что наши предки использовали другую интерпретацию квадратич-ной шкалы, вид которой показан на графике красной линией. Тогда все становится на свои места: возведя в квадрат шумерское число “–12”, получим наше натуральное число “-144” и наоборот, а наши предыдущие рассуждения, доводы и выводы - получат новое подтвержде-ние.

Это не аргумент. Либо надо подробнее излагать.
Вообще, желательно бы привести пример, где "новое умножение" приносит явную пользу. А так... умножение можно определить вообще как угодно, а потом исследовать следствия такого определения.

Цитата:

Сообщение от А.И.

зато есть коммутативность, без неё сейчас никак

Ну, некоммутативная математика как минимум с начала прошлого века развивается. С того самого момента, как увидели, что соответствующие операторы квантовой механики не коммутируют(а может даже и раньше). Так что без неё сейчас очень даже "как". Задайте в поисковой системе "некоммутативная" или "noncommutative".

Всего доброго.

P.S. Слышал, что у древних была математика без нуля. Вот об этом было бы интересно узнать, ибо от нуля много хлопот(сингулярности, связанные с ними расходимости и т.д.). Система с нулём слишком груба.

А.И. · 01.06.2010, 13:58

Evgeny Shulzinger, как раз умножение положительных чисел впринципе можно и оставить, а насчёт школ - если в плане понимания детьми думаю можно в любой, начать с отдельных классов, хотя такие думаю есть, и школы наверно тоже есть, отдельные, но тут дело не просто в умножении, вопрос затрагивает вообще необходимость существенного изменения системы образования, ведь сколько таких данных уже накопилось на основании которых можно построить другую, более совершенную систему для всех, но видимо время пока ещё не пришло...

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Интересно было бы узнать подробности о Шумерской математике.

Так есть же информация - шестидесятеричная система, следствиями которой мы и сейчас пользуемся в расчёте времени, круг поделённый на 360 градусов тоже следствие, так же они знали о прецессии земной оси - 25920 лет и делится на 60 без остатка, возможно эта система была разработана специально для астрономических наблюдений.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Согласно официальной истории математики первым, кто изложил правила действий над комплексными числами и показал, как эти числа можно использовать при решении кубических уравнений был Р. Бомбелли (см. его сочинение "Алгебра", 1572 г.). Активное использование комплексных чисел в математике началось с Л. Эйлера(18 век). К слову, О. Коши работал в 19 веке.

Видимо речь об использовании мнимых чисел для расчёта уравнений 3-й степени.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Нет никакой ошибки. Просто операция умножения так определена, что появилось такое "несоответствие". К тому же, правая колонка никак не связана с левой - в них разные операции. Например, (-2)3 есть (-2)*(-2)*(-2), а слева лишь произведения положительных чисел на отрицательное (-2). Почему здесь должно быть соответствие - непонятно.

Возведение в степень - операция умножения числа на само себя, умножение - основано на операции сложения числа n-е количество раз с самим собой, т.е. если складываем -2 и -2 то у нас будет не 4 а -4, вот именно об правильности определения операции умножения тут и речь, чем обусловлена перемена знака при умножении отрицательных чисел?

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Непонятная логика.

Тут думаю логика по аналогии с тригонометрической, в которой 2 отрицательных и 2 положительных четверти у функций.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Теряется коммутативность и знак при умножении разнознаковых чисел определяется знаком второго сомножителя - т.е. в приведённом примере всё будет верно:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = 1*(-1)+(-1)*(-1) = -1+1 = 0

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Это не аргумент. Либо надо подробнее излагать.
Вообще, желательно бы привести пример, где "новое умножение" приносит явную пользу. А так... умножение можно определить вообще как угодно, а потом исследовать следствия такого определения.

Каждое уравнение 2-й и 3-й степени имеет хотя бы 1 решение, количество решений 2-й степени может достигать 3, а 3-й степени 5. Какая может быть польза в более общем плане тут сложно судить, тут вопрос верен ли этот подход, если да то естественно увеличивается точность каких-либо вычислений.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Ну, некоммутативная математика как минимум с начала прошлого века развивается. С того самого момента, как увидели, что соответствующие операторы квантовой механики не коммутируют(а может даже и раньше). Так что без неё сейчас очень даже "как". Задайте в поисковой системе "некоммутативная" или "noncommutative".

Может быть тогда есть смысл более широкого использования, если предназначение математики для решения физических задач.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Всего доброго.

и Вам всех благ

Цитата:

Сообщение от Эльдар

P.S. Слышал, что у древних была математика без нуля. Вот об этом было бы интересно узнать, ибо от нуля много хлопот(сингулярности, связанные с ними расходимости и т.д.). Система с нулём слишком груба.

Как раз шумеры не использовали нуль, и это тоже действительно интересный вопрос.

Эльдар · 01.06.2010, 14:43

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Интересно было бы узнать подробности о Шумерской математике.

Так есть же информация - шестидесятеричная система <...>

Хотелось бы узнать(на конкретных примерах) о том, в чём Шумеры превосходили современную математику:

Цитата:

Сообщение от Махов

Человечество, имея в своих истоках такую богатейшую цивилизацию, как шумерскую, - довольно сильно исказило ранее существующую на Земле математическую базу, хотя до сих пор не может достигнуть ее высот.

Плохо, если мы упускаем что-то важное из наследия древних.

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Согласно официальной истории математики первым, кто изложил правила действий над комплексными числами и показал, как эти числа можно использовать при решении кубических уравнений был Р. Бомбелли (см. его сочинение "Алгебра", 1572 г.). Активное использование комплексных чисел в математике началось с Л. Эйлера(18 век). К слову, О. Коши работал в 19 веке.

Видимо речь об использовании мнимых чисел для расчёта уравнений 3-й степени.

А чем отличаются мнимые числа от комплексных и уравнения 3-й степени от кубических уравнений? )

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Нет никакой ошибки. Просто операция умножения так определена, что появилось такое "несоответствие". К тому же, правая колонка никак не связана с левой - в них разные операции. Например, (-2)3 есть (-2)*(-2)*(-2), а слева лишь произведения положительных чисел на отрицательное (-2). Почему здесь должно быть соответствие - непонятно.

Возведение в степень - операция умножения числа на само себя, умножение - основано на операции сложения числа n-е количество раз с самим собой, т.е. если складываем -2 и -2 то у нас будет не 4 а -4, вот именно об правильности определения операции умножения тут и речь, чем обусловлена перемена знака при умножении отрицательных чисел?

Когда речь идёт о символе типа n*(-m), где m и n - натуральные числа, умножение определяется через сумму(n раз по (-m)), это да. Но когда рассматривается символ вида (-n)*(-m), где m и n натуральные, непонятно, где здесь сумма(не бывает отрицательного числа слагаемых). Определение того, что такое (-n)*(-m) даётся в известном смысле независимо.

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Непонятная логика.

Тут думаю логика по аналогии с тригонометрической, в которой 2 отрицательных и 2 положительных четверти у функций.

Непонятно, почему дисбалланс свидетельствует о какой-то ошибке? К примеру, если человек гораздо чаще говорит правду, чем лжёт, то согласно логике автора статьи он ошибается в своём поведении? Или если функция y=exp(x) принимает только положительные значения, то с ней тоже что-то не так?...

Цитата:

Сообщение от А.И.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Это приводит, например, к тому, что и дистрибутивный закон перестаёт выполняться:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = (-1)+(-1) = (-2) => 0 = (-2).

Как известно, определение (-1)*(-1)=1 (а не (-1)*(-1)=(-1)) было введено именно с целью сохранить дистрибутивность, которой обладают операции сложения и умножения положительных чисел, т.е. свойство (a+b)*c=a*c+b*c.

Теряется коммутативность и знак при умножении разнознаковых чисел определяется знаком второго сомножителя - т.е. в приведённом примере всё будет верно:

0 = 0*(-1) = (1+(-1))*(-1) = 1*(-1)+(-1)*(-1) = -1+1 = 0

Согласно подчёркнутому выше правилу, (-1)*(-1)=(-1).

Цитата:

Сообщение от А.И.

Может быть тогда есть смысл более широкого использования, если предназначение математики для решения физических задач.

Что Вы! Математика имеет гораздо более глубокое предназначение.

А.И. · 01.06.2010, 16:49

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Хотелось бы узнать(на конкретных примерах) о том, в чём Шумеры превосходили современную математику:

Тут сложно судить о превосходстве, но покрайней мере нельзя недооценивать те знания которыми они обладали - о точной протяженности года например, астрономические знания о прецессии о которых уже говорилось и более больших циклах которые мы сейчас даже не знаем к чему привязать, знания чисел ряда Фибоначчи, о золотом сечении, а так же в других областях науки, в общем по некоторым данным это была достаточно высокоразвитая цивилизация...

Цитата:

Сообщение от Эльдар

А чем отличаются мнимые числа от комплексных и уравнения 3-й степени от кубических уравнений? )

мнимое число - квадрат которого является отрицательным, а комплексное - сумма действительного и мнимого, ну а уравнения одни и теже, но к чему бы это?

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Когда речь идёт о символе типа n*(-m), где m и n - натуральные числа, умножение определяется через сумму(n раз по (-m)), это да. Но когда рассматривается символ вида (-n)*(-m), где m и n натуральные, непонятно, где здесь сумма(не бывает отрицательного числа слагаемых). Определение того, что такое (-n)*(-m) даётся в известном смысле независимо.

Потому что неопределена операция умножения и в класическом случае мы ей можем крутить как хочется, то n прибавляем m раз, то m прибавляем n раз, тут не важно главное что - * + = - и - * - = +, ну а как в этом случае (-n)*(-m) складывается тоже непонятно, поэтому в обоих случаях как бы независимо используется модуль только в первом он используется ещё и над всем результатом, чтоб наверняка, а во втором только над значением числа слагаемых.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Согласно подчёркнутому выше правилу, (-1)*(-1)=(-1).

Да, тут по старой привычке всё на + меняю

В этом случае действительно будет -2, но дело в том что получается тут была произведена неявная перемена мест слагаемых, или замена знака одного из них, хотя это конечно можно было делать в классическом случае - т.е. - (1-1)=(1+(-1)) тут у первого множителя знак остался положительным, у второго знак стал отрицательным а операция изменилась на +, хотя поидее у каждой из едениц знаком то является +, таким образом в новом методе это выглядело бы примерно так - (1-1)*(-1) = (1)*(-1)-(1)*(-1) = -1-(-1) = 0

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Что Вы! Математика имеет гораздо более глубокое предназначение.

Ну можно конечно значение и углубить, но замыкая математику на саму себя теряет смысл её применение.

Добавлено через 28 минут

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Непонятно, почему дисбалланс свидетельствует о какой-то ошибке? К примеру, если человек гораздо чаще говорит правду, чем лжёт, то согласно логике автора статьи он ошибается в своём поведении? Или если функция y=exp(x) принимает только положительные значения, то с ней тоже что-то не так?...

Думаю он всё-таки ошибается в поведении когда лжёт, нет, с ней всё впорядке, тут значения у ограничены х и не могут быть отрицательными, в умножении другой случай, они ими быть могут, но путём введения правил умножения результат получается противоположный, почему для положительных чисел тогда нет такого же что при их умножении результат должен быть отрицательным?

DEI · 03.06.2010, 21:01

Мне кажется, что наука должна расширяться. Отбрасывать комплексные числа и отрицательные не имеет смысла. Это расширяет мышление. Любая новая мысль имеет право на существование. Можно опровергнуть, или найти лучшее. Главное, чтобы уравнение оставалось верным. )

Соображения, что с новыми объектами (отрицательными и комплексными) старые правила не работают говорят только о том, что выбраны, действительно, новые объекты. А не о том, что была ошибка.

Согласен, Эльдар - тут важна польза и простота.

Цитата:

Сообщение от Эльдар

P.S. Слышал, что у древних была математика без нуля. Вот об этом было бы интересно узнать, ибо от нуля много хлопот(сингулярности, связанные с ними расходимости и т.д.). Система с нулём слишком груба.

Википедия говорит, что

Цитата:

Майя использовали ноль в своей двадцатиричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль (10 декабря 36 года до н. э.).

Любопытно, что тем же самым знаком майянские математики обозначали и бесконечность, так как этот знак означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину».
Пустая раковина — знак нуля в системе счисления майя

- вероятно, история 0 идет от Атлантиды.

Индийцы ввели понятие "шунья"-пустота-0 тоже неслучайно.

Вряд ли понятие 0 огрубляет. Ноль - отсутствие информации. Если мы узнаем об объекте, то пустота наполнится. Виновато незнание, а не 0.

Сингулярности в физике- область, а не точка, и ведет к ней как правило - дифференцируемая функция, т.к. все процессы непрерывны. Есть правда, скоротечные даже для нашей техники, но нет дискретных.

И в том, что при стремлении в область сингулярности или расходимости функция стремится в бесконечность виновата модель, а не 0 )

Не думаю, что если нет 0, то нет проблемы. ) 0 - это глубокий философский символ недостижимого. Пусть побудет хотя бы в математике, если в философии его еще не могут принять как подобает.

Эльдар · 03.06.2010, 22:54

Цитата:

Сообщение от DEI

Вряд ли понятие 0 огрубляет. Ноль - отсутствие информации. Если мы узнаем об объекте, то пустота наполнится. Виновато незнание, а не 0.

Это предмет отдельного исследования - влияние понятия "нуль" на развитие человечества.

Но если говорить о моделях с нулём(или о моделях на основе систем с нулём), то конечно 0 сам по себе не виноват(равно как и система с 0). Виновато неадекватное применение соответствующей модели(или её построение), стало быть, как Вы и отметили, незнание.
Пусть у нас есть гладкая функция f в некоторой области D. Допустим, для приемлемого решения некоторой задачи нам нужно знать первые 3 слагаемых её ряда Тейлора в окрестности некоторой точки a области D:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2*(x-a)^2 + o((x-a)^2), x->a. (1)

Так вот, если мы, решая нашу задачу, возьмём вместо (1) лишь число f(a)(можно считать его равным нулю, для простоты), служащее нулевым приближением f в окрестности точки a, то наше решение будет грубым, неприемлемым.
Аналогично, те модели, которые строятся на системе с нулём(вместо системы, в которой в качестве нуля взята некоторая конструкция, ведущая к 0 "в пределе"), могут оказаться грубыми для понимания того явления, которое они призваны описать. В особенности, когда изучаются тонкие свойства этого явления. Вообще, точечные объекты без связей с окружением суть грубые образования. Примером относительно негрубого(в известном смысле) образования может служить голоморфная(аналитическая) функция.

Цитата:

Сообщение от DEI

Сингулярности в физике- область, а не точка, и ведет к ней как правило - дифференцируемая функция, т.к. все процессы непрерывны. Есть правда, скоротечные даже для нашей техники, но нет дискретных.

Я имел в виду сингулярности вообще. Кто знает, может быть от многих расходимостей удалось бы избавиться, если бы мы вместо нуля использовали нечто более близкое по своим свойствам к реальности.

Область сингулярности может появиться из-за нескольких точек, лежащих на её границе, в которых функция обращается в бесконечность.

Цитата:

Сообщение от DEI

... 0 - это глубокий философский символ недостижимого. Пусть побудет хотя бы в математике, если в философии его еще не могут принять как подобает.

Соглашусь, если заменить в Вашей фразе "0" на перевёрнутую восьмёрку.

Бесконечность можно* интуитивно воспринять. Нуль - не получается, никак. Если можете - приведите, пожалуйста, пример.

Эльдар · 03.06.2010, 23:36

Цитата:

Сообщение от Эльдар

Область сингулярности может появиться из-за нескольких точек, лежащих на её границе, в которых функция обращается в бесконечность.

Не уточнил: ...обращается в бесконечность в связи с нулём. Например:

f(z)=1/(1+z^2)=1-z^2+z^4- ...

в единичном круге {|z|<1} с границей {|z|=1}, содержащей особые точки("сингулярности") i и -i.

Этот классический пример иллюстрирует и пользу выхода в комплексную плоскость(точки i и -i, особые для ряда справа, не усмотреть, оставаясь на вещественной прямой).