[Эльдар]

"В итоге можно сказать, что разум обладает способностью создавать символы; благодаря этой способности он построил математическую непрерывность(т.е. поле вещественных чисел), которая представляет собой только особую систему символов " (Анри Пуанкаре, "О науке")

Какой раздел математики ни возьми - к нему вполне применима указанная выше символическая интерпретация. И такое понимание математики, на мой субъективный взгляд, очень упрощает её изучение(сужу по своему горькому опыту ).


{Символ(ы)} --> Пространство символов --> Задание отношений между символами.

Далее начинается разработка и исследование построенного математического(символического) пространства. Иногда та или иная система создаётся исходя из конкретных практических(в широком смысле) задач, иногда наоборот - абстрактная символическая система находит своё применение на практике(или при разработке других символических систем).

Общеизвестные примеры первого типа: евклидова геометрия, классич. дифф. и интегр. исчисление, теория вероятностей в широком смысле, ...;

Примеры второго типа: неевклидова геометрия, неклассич. мат. анализ, топология, математическая логика, ...;

Сами символические системы(теории) каким-то образом могут переплетаться. Так возникают плодотворные синтетические направления. Например: теория чисел и комплексный анализ, теория случайных процессов и дифференциальные уравнения, геометрия и анализ, геометрия и алгебра, и т.д... Эти переплетения порой просто удивительны! :P К примеру, свойства распределения простых чисел тесно связаны со свойствами некоторой комплексной функции(т.н. дзета-функции Римана). Или, например, расходимость определённого функционального ряда над полем вещественных чисел можно объяснить лишь "выйдя" на комплексную плоскость( в данном случае, кстати говоря, ещё раз убеждаемся, что "низшее определяется и контролируется Высшим", а не наоборот ).

Осознание единства математики наталкивает на мысль о глубинном единстве нашего мира.