[Эльдар]

Сообщение от Тайджас

Об актуальной и потенциальной бесконечностях кое-что читал у П.Флоренского, постараюсь привести здесь строки из его работы.

Некоторые понятия из учения о бесконечности
(П. Флоренский, из разъяснений к "Столпу...", перепечатано на современном русском языке)

Бесконечный, бесконечность приходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить объяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако, если в широкой публике - только непонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счёт часто бывает извращённость в понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе о понятии бесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.
Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлечённости вопроса; главная причина тут - в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект исследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что оно уже известно; и мнимое знание, - по слову Г. Кантора, "horror infiniti", царящий в обществе - даёт себя знать.
Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно-элементарной дистинкцией актуальной и потенциальной бесконечности. Поэтому мне придётся подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано лишь предварительное определение бесконечности; на нём мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.
Всякий quantum, или, - как предлагает говорить Н.И. Лобачевский, - всякое "коликое", по самому своему определению, может быть двояким. Оно может быть данным и неизменно и твёрдо установленным, вполне определённым, и тогда представит из себя то, что носит название постоянного или константы. Оно может также не быть определённым, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит название переменного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная - переменного "коликого", и в этом их принципиальное и глубочайшее различие - если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это частнее.
Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким-нибудь, а определённым способом, - так именно, чтобы оно становилось больше всякого постоянного конечного "коликого" того же рода, или меньше. В каждом состоянии это переменное конечно; но в нашем понимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких-либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum есть потенциальная бесконечность, потенциальная - в виду того, что он может стать более всякого другого quantum'a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого-либо quantum'a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum'a, именно, в связи с характером его специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Г. Кантора, не есть идея, а - только вспомогательное понятие; оно - ens rationis, по счастливому выражению Штёкля. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то самое, что древние называли [апейрон], схоластики - syncategorematice infinitum, или indefinitum, новые философы - дурной или, точнее, простой бесконечностью, schlechte Unendlichkeit.
Итак, это, никогда не заканчиваемое, потенциальное, бесконечное есть переменное конечное количество, quantum, возрастающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем, именно за это свойство, как чистые фикции. В виду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, - что, по словам Кантора, делал Фонтенелль - есть contradictio in terminis.
К несчастью, бесчисленное множество, - легион - авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину черезчур крепко и, забыв о слове потенциальная, начало разными голосами заявлять, что "законченная бесконечность есть нечто нелепое". Отсюда вытекает старинный афоризм: "Numerus infinitus repugnat"; отсюда же утверждение Тонджиорджи: "Multido actu infinita repugnat" и другие подобные. Этот, - вполне невинный, повидимому - пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые "антиномии чистого разума" у Канта. На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.